La modélisation mathématique dans tous ses états

épidémies, virus, plantes, astronomie….

du 20 au 24 juin 2016

à l’Université de Pau et des Pays de l’Adour

Le stage MathC2+ qui se déroulera à Pau du 20 au 24 juin 2016 est ouvert aux élèves de 2^nde de l’académie de Bordeaux, motivés par les sciences et se destinant à une première S. Il comprendra des conférences, des films, des ateliers sur des thèmes de recherches actuelles et la visite de plusieurs laboratoires de l’université de Pau et des Pays de l’Adour.

La participation au stage est gratuite, les organisateurs du stage prendront en charge :

• L’hébergement à l’internat du Lycée Jacques Monod de Lescar ;
• Les repas, au restaurant universitaire de Pau à midi, à l’internat de Lescar pour le petit déjeuner et le diner ;
• Les déplacements du lieu de résidence à Pau (sur la base d’un trajet SNCF aller-retour), ainsi que durant la semaine de stage.

Inscription au stage

Le nombre de participants à ce stage est limité à 30 élèves de 2^nde.

Une petite sélection est donc nécessaire.  Une sélection effectuée avec le critère principal la motivation des candidats, mais tiendra compte également de la répartition géographique, de la parité fille-garçons et de critères sociaux. Les enseignants pourront éventuellement être consultés dans certains cas, et une liste d’attente sera constituée.

Pour postuler au stage, il vous suffit de remplir le  Formulaire de candidature avant le vendredi 3 juin à 20h. Les questions suivantes visent à estimer votre motivation, nous vous recommandons de préparer vos réponses en avance et de les copier-coller ensuite dans le formulaire :

• Pourquoi souhaitez-vous faire ce stage ? Qu’est-ce qui vous motive dans ce thème et dans le programme annoncé ?

• Citez une découverte scientifique ou un domaine de recherche qui vous attire ou vous passionne et expliquez pourquoi.

• Y a-t-il une actualité ou un personnage scientifique qui vous a marqué-e et dont vous voudriez dire quelques mots ?

Pour tout renseignement complémentaire, veuillez contacter : jacky.cresson@univ-pau.fr

Présentation du stage

Galilée disait que le « grand livre de la nature est écrit dans la langue mathématique ». Cette phrase, bien que discutable, dit à elle seule le pouvoir des mathématiques à modéliser le réel et à déduire de ces modélisations, non seulement le devenir d’un système mais aussi à nous renseigner profondément sur sa nature. Les ondes gravitationnelles en sont un bel exemple.

L’objet du stage est de découvrir l’ensemble des outils mathématiques et des questions que soulève la modélisation d’un phénomène réel, que celui-ci appartienne à la biologie comme la propagation d’un virus dans une population, à la physique comme les conséquences d’un séisme ou à l’astronomie avec l’évolution du système solaire.

En particulier, nous aurons quatre étapes bien distinctes à explorer. Chacune de ces étapes fera l’objet d’un des projets de recherche proposés lors de ce stage.

La première étape concerne la construction d’un modèle et sa viabilité, c’est-à-dire le fait que ce modèle respecte un certain nombre de contraintes qui proviennent du domaine étudié et non du cadre mathématique utilisé. Par exemple, lorsqu’on étudie une population, le nombre d’individus doit être entier et positif. Si un modèle produit, à partir d’une population positive, une population négative alors ce modèle n’est pas viable. La construction du modèle demandera de faire des choix que nous discuterons : est-ce un phénomène aléatoire, continu, discret, …? Dans chacun de ces cas, nous poserons la question du respect des contraintes.

Une fois le modèle obtenu, nous chercherons à savoir ce qu’il peut nous dire. La première idée est de rechercher des solutions explicites du modèle. Nous verrons que cette recherche est souvent infructueuse et que, même lorsque la solution est connue explicitement, cela ne donne pas forcément accès au comportement futur du système. Nous parlerons à cette occasion de chaos déterministe, des travaux d’Henri Poincaré et de la jungle  des fonctions spéciales.

Lorsqu’un résultat théorique est établi, ou lorsque justement aucun résultat ne peut être obtenu dans cette voie, une idée est de produire un modèle numérique du modèle théorique, c’est-à-dire une représentation du modèle théorique qui puisse se mettre sur un ordinateur et permette une étude des différents comportements possibles. Nous étudierons cette procédure et les problèmes qui y sont liés.

Une dernière étape enfin, et non la moindre, est la comparaison à la réalité. Comme les précédentes, nous verrons que celle-ci n’est pas toujours évidente et pose de nouvelles questions de nature mathématique et philosophique.

Nous sommes loin d’avoir aujourd’hui compris tous les problèmes liés à la modélisation et à l’ensemble de ces étapes. Les mathématiciens du futur devront répondre à certaines questions que nous allons mettre en avant durant ce stage. Pourquoi pas vous ?

Les sujets de recherche

du stage MathC2+ 2016

Ces sujets sont à la fois de nature théorique et pratique. En particulier, nous utiliserons les moyens informatiques pour la simulation des modèles et la restitution des résultats.

1. Le modèle SIR et la propagation d’un virus : modèle discret pour une épidémie (modèle SIR). Implémentation sur ordinateur. Application sur des données. Développement pour modéliser l’épidémie de la Dengue ou du virus Zika. Application sur les données de la dengue au CAP-VERT en 2009.
2. Le modèle logistique en dynamique des populations et le Chaos
3. La construction des calendriers et des horloges et les fractions continues : On posera le problème de la construction d’horloge et de calendrier. Ce faisant nous arriverons vers des problèmes d’approximation des nombres réels par les rationnels.
4. Forme des virus et polyèdres : les virus possèdent des formes très particulières. En étudiant certains d’entre eux, nous verrons comment l’étude des polyèdres nous permet de déterminer leurs propriétés géométriques et comment ces propriétés influences leurs capacités.
5. Les pollens, les formes biologiques et le problème de Tammes : Les cellules biologiques prennent des formes très particulières lorsqu’elles sont soumises à des contraintes. Nous verrons comment rendre compte des différentes formes observées en étudiant le problème de l’empilement de sphères et le problème de Tammes consistant à recouvrir une sphère par de petits disques.
6. Les systèmes de Lindenmayer et la modélisation des plantes
7. Les fractales et la modélisation de la nature
8. La dérive génétique et les probabilités
9. Les mathématiques de Google ou comment classer des pages webs : Comment modéliser la recherche d’une page web sur le net ? Comment classer ces pages pour ensuite constituer un moteur de recherche efficace ?
10. Le meilleur chemin et le réseau des lignes de bus : Comment modéliser le déplacement entre deux points d’un réseau de villes ou sur le réseau de bus ou de métro ? Comment en déduire un „meilleur“ chemin ?
11. La synchronisation des lucioles et les rythmes du vivant
12. Le jeu du chaos et l’ADN

Programme de la semaine

du stage MathC2+ 2016